Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Правильно с прописной (большой) буквы.
Вы имеете в виду микрорайон? Корректно: 3-й микрорайон Новокосина (и Новокосино).
Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Да, такое написание зафиксировано в словаре.
Этот вопрос не регулируется правилами и нормами русского языка, поэтому для ответа на него мы связались со специалистами справочной службы ФГУП «Почта России». По их словам, название района в адресе писать необходимо – даже если населенный пункт, указанный в адресе, является центром этого района.